1)  С де­я­тель­но­стью царя, изоб­ражённого на кар­ти­не, свя­за­но пре­вра­ще­ние Рос­сии в мор­скую дер­жа­ву  — ДА, верно, Петр Ве­ли­кий пре­вра­тил Рос­сию в мор­скую дер­жа­ву.

2)  Царь, изоб­ражённый на кар­ти­не, уста­но­вил по­ря­док пре­сто­ло­на­сле­дия стро­го по нис­хо­дя­щей муж­ской линии  — НЕТ, не­вер­но.

3)  Изоб­ражённые на кар­ти­не ис­то­ри­че­ские пер­со­на­жи жили во вто­рой по­ло­ви­не XVIII в.  — НЕТ, не­вер­но, они жили на ру­бе­же XVII−XVIII вв.

4)  Между ис­то­ри­че­ски­ми пер­со­на­жа­ми, изоб­ражёнными на кар­ти­не, воз­ник кон­фликт, ко­то­рый стал при­чи­ной смер­ти од­но­го из них  — ДА, верно, за уча­стие в за­го­во­ре про­тив Петра его сын ца­ре­вич Алек­сей был при­го­во­рен к казни и умер не­за­дол­го до нее.

5)  Ху­дож­ник, на­пи­сав­ший дан­ную кар­ти­ну, вхо­дил в объ­еди­не­ние «Мир ис­кус­ства»  — НЕТ, не­вер­но, не вхо­дил в это объ­еди­не­ние.

Ответ: 14.